Question

已知U={1，2，3，4，5}，A={2，3，5}，B={4，5}，C={x|x²-ax-b=0}（a，b為常數(shù)）
（Ⅰ）若C=A∩C_UB，求出實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，若已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程（a-3）x²+（b+5）x+k=0兩實(shí)根均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)C=A∩C_UB結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系關(guān)于a，b 的方程，從而得出a，b的值．
（II）在（I）結(jié)論下，設(shè)f（x）=（a-3）x²+（b+5）x+k，觀察圖象可知

f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- -1 2×2 ＜1 △=1-8k≥0

，解此不等式組可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）U={1，2，3，4，5}，B={4，5}，所以C_UB={1，2，3}
∴C=A∩C_UB={2，3，5}∩{1，2，3}={2，3}
因?yàn)镃={x|x²-ax-b=0}={2，3}，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，
可得，

2+3=a 2×3=-b

，從而

a=5 b=-6

（Ⅱ）設(shè)f（x）=（a-3）x²+（b+5）x+k，由（Ⅰ），

a=5 b=-6

∴f（x）=2x²-x+k，為開口向上的二次函數(shù)，
兩實(shí)根均在（0，1）內(nèi)
所以，

f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- -1 2×2 ＜1 △=1-8k≥0

解得：0＜k≤

1

8

即當(dāng)0＜k≤

1

8

時，關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程2x²-x+k=0兩實(shí)根均在（0，1）內(nèi)；

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系和函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，在解有關(guān)函數(shù)與方程問題時，應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、提煉、總結(jié)，以增強(qiáng)分析問題和解決問題的能力．