設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x2上，從原點(diǎn)向A（2，4）移動(dòng)，如果直線OP，曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2．
（Ⅰ）當(dāng)S1=S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)S1+S2有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值．
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜2），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t2），
直線OP的方程為y=tx
S1=∫0t（tx-x2）dx=
1
6
t3，S2=∫t2（x2-tx）dx=
8
3
-2t+
1
6
t3，
因?yàn)镾1=S2，，所以t=
4
3
，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（
4
3
，
16
9
）
S=S1+S2=
1
6
t3+
8
3
-2t+
1
6
t3=
1
3
t3-2t+
8
3

S′=t2-2，令S'=0得t2-2=0，t=
2

因?yàn)?＜t＜
2
時(shí)，S'＜0；
2
＜t＜2時(shí)，S'＞0
所以，當(dāng)t=
2
時(shí)，Smin=
8-4
2
3
，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（
2
，2）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直線y=kx+b與橢圓
x2
4
+y2=1交于A，B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)|AB|=2，S=1時(shí)，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知斜率為1的直線l過橢圓
x2
4
+y2=1的右焦點(diǎn)F2．
（1）求直線l的方程；
（2）若l與橢圓交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，求S△F1AB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．若橢圓上的點(diǎn)A(1，
3
2
)到焦點(diǎn)F1、F2的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)M、N，當(dāng)△OMN的面積取得最大值時(shí)，求直線MN的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=
20
3
，橢圓C2的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），C2的離心率為
2
2
，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

拋物線y2=4x的一條弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程式為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

過x軸上動(dòng)點(diǎn)A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點(diǎn)．
（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2，求證：k1•k2為定值，并求出定值；
（2）求證：直線PQ恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)
S△APO
PQ
最小時(shí)，求
AQ
•
AP
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B（-2，0），C（2，0），直線AB，AC的斜率乘積為-
1
4
，設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)曲線E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與曲線E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l1的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，試求
S
|k|
的取值范圍．

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