Question

4．過點(diǎn)P（1，2）作兩條直線pm，pn，分別與拋物線y²=4x相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接MN，若直線PM，PN，MN的斜率都存在且不為零，設(shè)其斜率分別為k₁，k₂，k₃，則$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}-\frac{1}{{k}_{3}}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)直線PM，PN的方程，代入橢圓方程即可求得M和N點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得根據(jù)直線的斜率公式，化簡即可求得$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}-\frac{1}{{k}_{3}}$=1．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線PM的方程為：y-2=k₁（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-1）+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-$\frac{4}{{k}_{1}}$y+$\frac{8}{{k}_{1}}$-4=0，
解得y=2或y=$\frac{4}{{k}_{1}}$-2．
x₁=$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=$\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}$，∴M（$\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}$，$\frac{4}{{k}_{1}}$-2）
同理可得：N（$\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}$，$\frac{4}{{k}_{2}}$-2）．
∴k₃=$\frac{\frac{4}{{k}_{2}}-2-（\frac{4}{{k}_{1}}-2）}{\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{2}^{2}}-\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{（{k}_{1}+{k}_{2}）-{k}_{1}{k}_{2}}$，
$\frac{1}{{k}_{3}}$=$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{k}_{1}{k}_{2}}$-1=$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$-1，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}-\frac{1}{{k}_{3}}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．