Question

平面上有n個(gè)圓和直線l，任意兩個(gè)圓都相交，直線l也與這n個(gè)圓相交，記所有交點(diǎn)數(shù)的最大值為a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

an

，Sn=b1b3+b2b4+b3b5+…+bnbn+2，求最大的正整數(shù)K的值，使對任意的n，都有kS_n＜2005．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知a_n+1=a_n+2n+2，a₁=2，由此能求出a_n=n（n+1）．
（2）用裂項(xiàng)法可得Sn=

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

，由KSn＜2005得K(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)＜2005．由此入手能求出K_max．

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n+2n+2，
a₁=2，
∴a_n=n（n+1）．
（2）用裂項(xiàng)相消法可得Sn=

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

，
由KSn＜2005得K(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)＜2005，
令K′•

1

18

=2005，得K′=36090，則Kmax=36090，否則當(dāng)Kmax=36091時(shí)
36091(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)=2005+(

1

18

-

36091

3(n+1)(n+2)(n+3)

)，
由于n是任意整數(shù)，總存在n0使得

1

18

-

36091

3(n+1)(n+2)(n+3)

＞0，
從而有36091(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)＞2005，故K=36091不滿足條件，
所以K_max=36091．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．