Question

18．如圖所示，在四面體VABC木塊中，P為△VAC的重心，這點(diǎn)P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四邊形，則該截面把木塊分成兩部分體積之比為$\frac{7}{20}$． （埴體積小與體積大之比）

Answer 1

分析 由已知可得EH∥AC∥FG，且VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，連接VF、VG、AG、AH，則多面體EFGHVB的體積等于四棱錐V-EFGH的體積與三棱錐V-BFG的體積和，多面體EFGHAC的體積等于四棱錐A-EFGH的體積與三棱錐H-AGC的體積和．找出各多面體體積的關(guān)系得答案．

解答 解：如圖，∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EH=FG，且EH∥FG，
∴EH∥平面ABC，又EH?平面VAC，平面VAC∩平面ABC=AC，
∴EH∥AC，則EH∥AC∥FG，
∵P為△VAC的中心，∴VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，
而EH=FG，
∴BF：BA=BG：BC=FG：AC=2：3．
連接VF、VG、AG、AH，
則多面體EFGHVB的體積等于四棱錐V-EFGH的體積與三棱錐V-BFG的體積和，
多面體EFGHAC的體積等于四棱錐A-EFGH的體積與三棱錐H-AGC的體積和．
∵四棱錐V-EFGH的高是四棱錐A-EFGH的高的2倍，底面積相等，
∴四棱錐V-EFGH的體積是四棱錐A-EFGH的體積的2倍；
∵三棱錐V-BFG的底面積是三棱錐H-AGC的底面積的$\frac{4}{3}$倍，高是3倍，
∴三棱錐V-BFG的體積是三棱錐H-AGC的體積的4倍．
設(shè)棱錐H-AGC的體積為V₁，則三棱錐H-AFG的體積為$\frac{2}{3}{V}_{1}$，有四棱錐A-EFGH的體積是$\frac{4}{3}{V}_{1}$．
∴多面體EFGHAC的體積等于$\frac{7}{3}{V}_{1}$，多面體EFGHVB的體積等于$4{V}_{1}+\frac{8}{3}{V}_{1}=\frac{20}{3}{V}_{1}$，
∴多面體EFGHAC的體積與多面體EFGHVB的體積比等于$\frac{7}{20}$．
故答案為：$\frac{7}{20}$．

點(diǎn)評 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，幾何體的體積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．