Question

已知集合A={x|x=a0+a1×2+a2×22+a3×23}，其中a_k∈{0，1}（k=0，1，2，3）且a₃≠0．則A中所有元素之和是

92

．

Answer 1

分析：由題意可知a₀，a₁，a₂，各有2種取法（均可取0，1），a₃有1種取法，利用數(shù)列求和即可求得A中所有元素之和．

解答：解：由題意可知，a₀，a₁，a₂各有2種取法（均可取0，1），a₃有1種取法，
由分步計數(shù)原理可得共有2×2×2×1=8種方法，
∴當a₀取0，1時，a₁，a₂各有2種取法，a₃有1種取法，共有2×2×1=4種方法，
即集合A中含有a₀項的所有數(shù)的和為（0+1）×4=4；
同理可得集合A中含有a₁項的所有數(shù)的和為（2×0+2×1）×4=8；
集合A中含有a₂項的所有數(shù)的和為（2²×0+2²×1）×4=16；
集合A中含有a₃項的所有數(shù)的和為（2³×1+2³×0）×8=64；
由分類計數(shù)原理得集合A中所有元素之和：S=4+8+16+64=92
故答案為：92

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應用，考查分類討論與轉化思想的綜合應用，屬于難題．