Question

（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 如圖，AB是半徑為1的圓的一條直徑，C是此圓上任意一點(diǎn)，作射線AC，在AC上存在點(diǎn)P，使得AP•AC=1，以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓的方程為

ρ=2cosθ

、動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

ρcosθ=

1

2

．

Answer 1

分析：由題意，設(shè)C（ρ，θ），則AC=ρ，∠CAB=θ，根據(jù)AB是半徑為1的圓的一條直徑，即可得圓的方程為ρ=2cosθ，P隨著C的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而C在圓上動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系是AP•AC=1，由此可得動(dòng)點(diǎn)P方程．

解答：解：由題意，設(shè)C（ρ，θ），則AC=ρ，∠CAB=θ，
∵AB是半徑為1的圓的一條直徑
∴cosθ=

ρ

2

∴圓的方程為ρ=2cosθ，
設(shè)C（ρ，θ），P（ρ′，θ），則ρ=2cosθ，
∵AP•AC=1
∴ρ′ρ=1
∴動(dòng)點(diǎn)P方程為ρ′cosθ=

1

2

．
即ρcosθ=

1

2

．
故答案為：ρ=2cosθ；ρcosθ=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以圓為載體，考查圓的極坐標(biāo)方程，考查代入法求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)，列式．