已知函數(shù)f（x）=-sin2x+2asinx+a-1，x∈R
（1）寫出函數(shù)f（x）的最大值的解析表達式g（a）；
（2）若f（x）≤1對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍．
【答案】分析：（1）若把sinx看成一個整體，則f（x）是sinx的二次函數(shù)，且sinx∈[-1，1]，再按a與-1，1比較大小，分情況求出f（x）的最大值，即可得到f（x）的最大值的解析表達式g（a），為一個分段函數(shù)．
（2）若f（x）≤1對一切x∈R恒成立，f（x）的最大值小于等于1恒成立，再按（1）中分情況求出的f（x）的最大值來解含a的不等式，就可得到a的取值范圍．
解答：解：（1）令sinx=t，則t∈[-1，1]，
f（x）=-t2+2at+a-1=-（t-a）2+a2+a-1
當(dāng)a＜-1時，f（x）當(dāng)t=-1時有最大值為-a-2
當(dāng)-1≤a≤1時，f（x）當(dāng)t=a時有最大值為a2+a-1
當(dāng)a＞1時，f（x）當(dāng)t=1時有最大值3a-2
∴函數(shù)f（x）的最大值的解析表達式g（a）=
（2）∵（x）≤1對一切x∈R恒成立
∴f（x）的最大值小于等于1恒成立．
∴當(dāng)a＜-1時，-a-2≤1，解得-3≤a＜-1
當(dāng)-1≤a≤1時，a2+a-1≤1，解得-1≤a≤1
當(dāng)a＞1時，3a-2≤1，不成立
∴a的取值范圍為[-3，1]
點評：本題考查了二次函數(shù)最值的求法，以及恒成立問題，做題時要分清情況，不要遺落．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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