Question

某廠2006年擬舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該廠產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與去年促銷費(fèi)m（萬(wàn)元）（m≥0）滿足x=3-

2

m+1

．已知2006年生產(chǎn)的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2006年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)m（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2）求2006年該產(chǎn)品利潤(rùn)的最大值，此時(shí)促銷費(fèi)為多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析：（I）每件產(chǎn)品的成本為

8+16x

x

元，且x=3-

2

m+1

，則利潤(rùn)函數(shù)y=1.5×

8+16x

x

•x-（8+16x+m），整理即可；
（II）由函數(shù)y=28-m-

16

m+1

，構(gòu)造條件應(yīng)用基本不等式，可求得函數(shù)y的最大值及對(duì)應(yīng)的m值．

解答：解：（I）每件產(chǎn)品的成本為

8+16x

x

元，且x=3-

2

m+1

，則
今年的利潤(rùn)y=1.5×

8+16x

x

•x-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8(3-

2

m+1

)-m=28-

16

m+1

-m（其中m≥0），
所以，所求的函數(shù)為y=28-m-

16

m+1

m≥0；
（II）因?yàn)楹瘮?shù)y=28-m-

16

m+1

=29-[

16

m+1

+m+1]≤29-2

16 m+1 (m+1)

=21，
當(dāng)且僅當(dāng)

16

m+1

=m+1（其中m≥0），即m=3（萬(wàn)元）時(shí)，等號(hào)成立；
所以，今年該產(chǎn)品利潤(rùn)的最大值為21萬(wàn)元，此時(shí)年促銷費(fèi)為3萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了利用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）求函數(shù)的最值問題，是中檔題．