Question

若函數(shù)f(x)=

a•2x-2

1+2x

(a∈R)是R上的奇函數(shù)
（1）求a的值，并利用定義證明函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）解不等式：f(-2)+f(log

1

2

(2x))≥0．

Answer 1

分析：（1）依題意，f（0）=0可求得a，從而可得f（x）的解析式，設(shè)x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），化積判斷符號(hào)即可結(jié)論；
（2）利用f（x）為R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，將f（-2）+f（log

1

2

(2x)）≥0轉(zhuǎn)化為log

1

2

(2x)≥2，解之即可．

解答：解：（1）∵f（x）=

a•2x-2

1+2x

是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，解得a=2…2分
∴f（x）=

2(2x-1)

1+2x

．
證明：設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-1)

1+2x1

-

2(2x2-1)

1+2x2

…3分
=

4(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

…5分
∵y=2^x是R上的增函數(shù)，
∴2x1-2x2＜0，而（1+2x1）（1+2x2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增…7分
（2）由f（-2）+f（log

1

2

(2x)）≥0，且f（x）是R上的奇函數(shù)可得：f（log

1

2

(2x)）≥f（2）…8分
又f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴log

1

2

(2x)≥2…9分
解得0＜x≤

1

8

…11分
∴不等式的解集是{x|0＜x≤

1

8

}…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查分析與推理運(yùn)算能力，屬于難題．