Question

19．若點(diǎn)M是以橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的短軸為直徑的圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作該圓的切線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為F₂，則△PQF₂的周長是4．

Answer 1

分析 方法一、設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0），聯(lián)立橢圓方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，結(jié)合直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，可得周長；
方法二、設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運(yùn)用橢圓的焦半徑公式和勾股定理，化簡整理即可得到所求周長．

解答 解：根據(jù)題意作出圖形如圖所示，
方法一、設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
有△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²-m²+3）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
則|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{48（3+4{k}^{2}-{m}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$．
由直線PQ與圓x²+y²=3相切，
即有$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即|m|=$\sqrt{3（1+{k}^{2}）}$，
可得|PQ|=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，
由|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+3（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）}$=$\sqrt{（\frac{{x}_{1}}{2}-2）^{2}}$，0＜x₁＜2，
可得|PF₂|=2-$\frac{1}{2}$x₁，同理|QF₂|=2-$\frac{1}{2}$x₂，
則|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=4-$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=4+$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=4，
因此，△PF₂Q的周長是定值4．
方法二：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+3（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）}$=$\sqrt{（\frac{{x}_{1}}{2}-2）^{2}}$，0＜x₁＜2，
可得|PF₂|=2-$\frac{1}{2}$x₁，同理|QF₂|=2-$\frac{1}{2}$x₂，
又M是圓O的切點(diǎn)，連接OP，OM，
則|PM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|OM{|}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-3}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+3（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）-3}$=$\frac{1}{2}$x₁，
可得|PF₂|+|PM|=2-$\frac{1}{2}$x₁+$\frac{1}{2}$x₁=2，
同理|QF₂|+|QM|=3，
則|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=2+2=4，
因此，△PF₂Q的周長是定值4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和圓相切的條件：d=r，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．