Question

已知F₂（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點P滿足||PF₁|-|PF₂||=2，記點P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若過點F₂的直線l交軌跡E于P、Q兩不同點．設(shè)點M（-1，0），問：當直線l繞點F₂轉(zhuǎn)動的時候，是否都有

MP

•

MQ

=0？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由F₂（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點P滿足||PF₁|-|PF₂||=2，知c=2，a=1，b²=3，由此能求出點P的軌跡E的方程．
（2）若l的斜率存在，設(shè)l的方程為：y=k（x-2），由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

，得：（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，由l與曲線交于不同點P，Q，知

3-k2≠0 △=16k4+4(3-k2)(4k2+3)＞0

，由此入手導(dǎo)出

MP

•

MQ

=0；若直線l的斜率存在，則P（2，3），Q（2，-3），M（-1，0），故

MP

•

MQ

=0成立．所以當直線l繞點F₂旋轉(zhuǎn)時，均有

MP

•

MQ

=0得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵F₂（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點P滿足||PF₁|-|PF₂||=2，
∴c=2，a=1，b²=3，
∴點P的軌跡E的方程為：x2-

y2

3

=1．
（2）①若l的斜率存在，設(shè)l的方程為：y=k（x-2），
由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

，消y得：（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
∵l與曲線交于不同點P，Q，
∴

3-k2≠0 △=16k4+4(3-k2)(4k2+3)＞0

，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

k2-3

，x1x2=

4k2+3

k2-3

，
y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2 )+4]，
∵M（-1，0），
∴

MP

•

MQ

=(x1+1，y1)•(x2+1，y2)
=（k²+1）x₁x₂-（2k²-1）（x₁+x₂）+1+4k²=0．
②若直線l的斜率存在，則P（2，3），Q（2，-3），M（-1，0），
∴

MP

•

MQ

=0成立，
故當直線l繞點F₂旋轉(zhuǎn)時，均有

MP

•

MQ

=0．

點評：本題考查軌跡方程的求法，探索當直線繞點轉(zhuǎn)動的時候，是否都有向量的數(shù)量積為零．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．