Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n+1．
（ I）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；（ II）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（ I）證明：依題意可得S_n+1=2a_n+1+1…①，S_n=2a_n+1…②
①-②，得a_n+1=2a_n+1-2a_n
化簡(jiǎn)得
∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．
（II）由（I）得，數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
把n=1代入S_n=2a_n+1，得S₁=a₁=2a₁+1，解得a₁=-1，
∴a_n=（-1）×2^n-1=-2^n-1．
分析：（I）把n=n+1代入S_n=2a_n+1得到一個(gè)式子，再把兩個(gè)式子相減，再由S_n+1-S_n=a_n+1得到數(shù)列的遞推公式，化簡(jiǎn)后根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明；
（II）把n=1代入S_n=2a_n+1，求出a₁的值，再由（I）的結(jié)論和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出a_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，以及S_n與a_n之間的關(guān)系的應(yīng)用，證明數(shù)列是等比數(shù)列常用它的定義進(jìn)行證明．