Question

已知數列{a_n}是首項為，公比的等比數列，設，數列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．
（1）求證：{b_n}是等差數列；
（2）求數列{c_n}的前n項和S_n；
（3）若對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等比數列的通項公式可求得a_n，代入求得b_n+1-b_n為常數，進而判斷出數列{b_n}是等差數列．
（2）由（1）可分別求得a_n和b_n，進而求得C_n進而用錯位相減法進行求和．
（3）把（2）中的C_n，代入C_n+1-C_n結果小于0，進而判斷出當n≥2時，C_n+1＜C_n，進而可推斷出當n=1時，C_n取最大值，問題轉化為≥，求得m的取值范圍．
解答：解：（1）由題意知，a_n=（）ⁿ．
∵，
∴b₁=1
∴b_n+1-b_n=3a_n+1=3a_n=3=3q=3
∴數列{b_n}是首項為1，公差為3的等差數列．
（2）由（1）知，a_n=（）ⁿ．b_n=3n-2
∴C_n=（3n-2）×（）ⁿ．
∴S_n=1×+4×（）²+…+（3n-2）×（）ⁿ，
于是S_n=1×（）²+4×（）³+…（3n-2）×（）ⁿ⁺¹，
兩式相減得S_n=+3×[（）²+（）³+…+（）ⁿ）-（3n-2）×（）ⁿ⁺¹，
=-（3n-2）×（）ⁿ⁺¹，
∴S_n=-（）ⁿ⁺¹
（3）∵C_n+1-C_n=（3n+1）×（）ⁿ⁺¹-（3n-2）×（）ⁿ=9（1-n）×（）ⁿ⁺¹，
∴當n=1時，C₂=C₁=
當n≥2時，C_n+1＜C_n，即C₂=C₁＞C₃＞C₄＜…＞C_n
∴當n=1時，C_n取最大值是
又
∴≥
即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．
點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的性質，裂項法求和，解不等式等問題．