Question

（2013•浦東新區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）|x|+b
（1）當(dāng)a=2，b=3，畫出函數(shù)f（x）的圖象，并求出函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；
（2）設(shè)b=-2，且對(duì)任意x∈（-∞，1]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=2，b=3代入，利用零點(diǎn)分段法，可求出函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的圖象，進(jìn)而分析函數(shù)圖象可得答案．
（2）將b=-2代入可將f（x）＜0可化為（x-a）|x|＜2，對(duì)x進(jìn)行分類討論后，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=2，b=3時(shí)
函數(shù)f（x）=（x-2）|x|+3的解析式可化為：
f(x)=

x2-2x+3      x≥0 2x-x2+3      x＜0

，
故函數(shù)的圖象如下圖所示：

當(dāng)x≥0時(shí)，由f（x）=0，得x²-2x+3=0，此時(shí)無實(shí)根；
當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=0，得x²-2x-3=0，得x=-1，x=3（舍）．
所以函數(shù)的零點(diǎn)為x=-1．
（2）當(dāng)b=-2時(shí)，由f（x）＜0得，（x-a）|x|＜2．
當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，a＞x-

2

x

，令g(x)=x-

2

x

，則g（x）在0＜x≤1上單調(diào)遞增，
∴a＞g_max（x）=g（1）=-1；
當(dāng)x＜0時(shí)，a＞x+

2

x

，令h(x)=x+

2

x

，
則h（x）在[-

2

，0)上單調(diào)遞減，(-∞，-

2

]單調(diào)遞增；
∴a＞hmax(x)=h(-

2

)=-2

2

．
綜合 a＞-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．