Question

設函數(shù)，x∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的周期和值域；
（II）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，求角C的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式T=即可求出f（x）的周期，然后由x屬于實數(shù)，得到這個角也屬于實數(shù)，進而由正弦函數(shù)的值域[-1，1]，得到函數(shù)f（x）的值域；
（II）把x=A代入第一問化簡得到的f（x）中，求出f（A），讓其等于得到sin（A+）的值，根據(jù)A的范圍求出A+的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到A的度數(shù)，進而求出sinA的值，由已知a與b的關系式及求出的sinA，利用正弦定理即可求出sinB的值，根據(jù)B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，由A，B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內角和定理求出C的度數(shù)即可．
解答：解：（I）∵=，（3分）
∴f（x）的周期為2π．（4分）
因為x∈R，所以，
所以f（x）值域為[-1，1]；（5分）
（II）由（I）可知，，（6分）
∴，（7分）
∵0＜A＜π，∴，（8分）
∴，得到．（9分）
∵，且，（10分）
∴，∴sinB=1，（11分）
∵0＜B＜π，∴．（12分）
∴．（13分）
點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和的正弦函數(shù)公式及正弦定理．熟練掌握三角函數(shù)的周期公式及公式、定理是解本題的關鍵，同時學生在利用特殊角的三角函數(shù)值時注意角度的范圍．