Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心，以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）拋物線C₂：y²=2px（p＞0）與橢圓C₁有公共焦點，設(shè)C₂與x軸交于點Q，不同的兩點R，S在C₂上（R，S與Q不重合），且滿足

QR

•

RS

=0，求|

QS

|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，利用點到直線的距離公式可得b．再利用e=

c

a

，a²=b²+c²，即可得出．
（2）由拋物線與橢圓有公共的焦點可得p，再利用向量的數(shù)量積運算和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）由直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，∴

|0-0+2|

2

=b，解得b=

2

．
聯(lián)立

e= c a = 3 3 a2=( 2 )2+c2

解得a=

3

，c=1．
∴橢圓的方程是C1：

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由橢圓的右焦點（1，0），拋物線y²=2px的焦點(

p

2

，0)，
∵有公共的焦點，∴

p

2

=1，解得p=2，故拋物線C₂的方程為：y²=4x．
易知Q（0，0），設(shè)R（

y 2 1

4

，y₁），S（

y 2 2

4

，y₂），
∴

QR

=（

y 2 1

4

，y₁），

RS

=(

y 2 2 - y 2 1

4

，y2-y1)，
由

QR

•

RS

=0，得

y 2 1 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y1(y2-y1)=0，
∵y₁≠y₂，∴y2=-(y1+

16

y1

)，
∴

y

2 2

=

y

2 1

+

256

y 2 1

+32≥2

y 2 1 • 256 y 2 1

+32=64，當(dāng)且僅當(dāng)

y

2 1

=16，即y₁=±4時等號成立．
又|

QS

|=

y 4 2 16 + y 2 2

=

1

4

( y 2 2 +8)2-64

≥

1

4

722-64

=8

5

，
當(dāng)

y

2 2

=64，即y₂=±8時，|

QS

|min=8

5

，
故|

QS

|的取值范圍是[8

5

，+∞）．

點評：本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的數(shù)量積運算和基本不等式的性質(zhì)、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．