Question

已知直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A(－1，0)和B(0，8)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線l和拋物線C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：據(jù)題意，可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，且x軸、y軸不是所求直線，又l過(guò)原點(diǎn)，因而可設(shè)l的方程為y＝kx(k≠0)．① 　　如圖所示，設(shè)、分別是A、B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，則⊥l，直線的方程為y＝－(x＋1)．�、� 　　聯(lián)立①、②，解得與l的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－，－)，從而得點(diǎn)． 　同理． 　　將、的坐標(biāo)分別代入C的方程y2＝2px(p＞0)中，解得 p＝及p＝， 　　∴＝，即k2－k－1＝0， 　　解得k1＝，k2＝． 　　∵當(dāng)k＝時(shí)，＝＝－＜0，這與在C上矛盾，∴k＝． 　　將k＝代入p＝中，得p＝＋1， 　　∴所求直線l的方程是y＝x，拋物線C的方程為y2＝2(＋1)x． 　　分析：因拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)位置確定，故可用待定系數(shù)法求直線和拋物線的方程，其中待定的系數(shù)值可根據(jù)對(duì)稱的條件和性質(zhì)來(lái)確定． 　　點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)性質(zhì)及點(diǎn)在曲線上即點(diǎn)的坐標(biāo)是曲線方程的解在求參數(shù)p、k的值中起了關(guān)鍵作用．本題還可運(yùn)用拋物線的參數(shù)方程(t為參數(shù))求解．