Question

若方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一個實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為

k＜0或k=4

．

Answer 1

分析：由于k出現(xiàn)在真數(shù)位置，故我們可以對k分大于0，等于0，小于0三種情況進(jìn)行討論，然后利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為整式方程根的個數(shù)問題，結(jié)合韋達(dá)定理及圖解法，即可得到結(jié)論．

解答：解：若k=0，則lg（kx）無意義，此時方程lg（kx）=2lg（x+1）無實根；
若k＞0，則方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一個實數(shù)解，即
kx=（x+1）²只有一個正根，
則

2-k＜0 (2-k)2-4=0

，
解得：a=4
若k＜0，由于方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一個實數(shù)解，
分別作出函數(shù)y=lg（kx）和y=2lg（x+1）的圖象，它們始終有一個交點，
∴方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一個實數(shù)解，
∴k＜0符合題意．
綜上滿足條件的實數(shù)k的范圍k＜0或k=4．
故答案為：k＜0或k=4．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為整式方程根的個數(shù)問題，是解答本題的關(guān)鍵．