Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_n=（-1）ⁿ（2n-1）．
（Ⅰ）求S₁，S₂，S₃，S₄；
（Ⅱ）猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入計(jì)算，可求S₁，S₂，S₃，S₄；
（Ⅱ）猜想S_n的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明．

解答 解：（1）S₁=-1，S₂=-1+3=2，S₃=-1+3-5=-3，S₄=-1+3-5+7=4，
（Ⅱ）猜想${S_n}={（-1）^n}n$，證明如下：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由（1）得結(jié)論成立； 
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，
即-1+3-5+7+…+（-1）^k（2k-1）=（-1）^kk
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=-1+3-5+7+…+（-1）^k（2k-1）+（-1）^k+1（2k+1）=（-1）^kk+（-1）^k+1（2k+1）=（-1）^k+1（-k+2k+1）=（-1）^k+1（k+1）．
故n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由（1）（2）知，-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查猜想與證明，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟是關(guān)鍵．