Question

已知點(diǎn)D（0，-2），過點(diǎn)D作拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的切線l，切點(diǎn)A在第二象限，如圖
（Ⅰ）求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；
（Ⅱ）若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過切點(diǎn)A，設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k₁，k₂，若k₁+2k₂=4k，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)A（x，y），且，由切線l的斜率為，得l的方程為，再由點(diǎn)D（0，-2）在l上，能求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)．
（Ⅱ）由得，切線斜率，設(shè)B（x₁，y₁），切線方程為y=kx-2，由，得a²=4b²，所以橢圓方程為，b²=p+4，由，由此能求出橢圓方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)A（x，y），且，
由切線l的斜率為，得l的方程為，又點(diǎn)D（0，-2）在l上，
∴，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ） 得，切線斜率，
設(shè)B（x₁，y₁），切線方程為y=kx-2，由，得a²=4b²，…（7分）
所以橢圓方程為，且過，∴b²=p+4…（9分）
由，∴，…（11分）
=
將，b²=p+4代入得：p=32，所以b²=36，a²=144，
橢圓方程為．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查切點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．