Question

定義：在直角坐標(biāo)系中，若不在一直線上的三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），則三角形ABC的面積可以表示為S_△ABC=．已知拋物線y²=4x，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F斜率為的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若P（3，0），試用行列式計(jì)算三角形面積的方法求四邊形APBO的面積S．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)斜式求得直線AB的方程，代入拋物線y²=4x的方程化簡(jiǎn)，
利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出 x₁，x₂，y₁，y₂的值，即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由題意知，A（4，4），，P（3，0），O（0，0）
則四邊形APBO的面積S=+=．
解答：解：（1）拋物線y²=4x中，p=2，，故拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），
由題意有可得 直線AB的方程為  y-0=（x-1），即 y=（x-1），
代入拋物線y²=4x的方程化簡(jiǎn)可得  y²-3x-4=0，
∴y₁=-1，y₂=4，則x₁=，x₂=4
故A（4，4）、；
（2）由于不在一直線上的三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），
則三角形ABC的面積可以表示為S_△ABC=
又由A（4，4）、，
則四邊形APBO的面積S=S_△AOB+S_△APB
=+=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出x₁，x₂，y₁，y₂的值，是解題的關(guān)鍵．