Question

已知點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，且有

AB

=

4OB

+

5OC

，則△OAB與△OBC的面積之比為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意中向量等式，整理得到

BO

=

1

3

OA

+

5

3

OC

．延長(zhǎng)BO到D，使OD=BO，過(guò)D分別作OA、OC的平行線，得到平行四邊形OEDF，從而

OD

=

BO

=

OE

+

OF

．利用平面向量基本定理，得到

OE

=

1

3

OA

且

OF

=

5

3

OC

，由平行四邊形的性質(zhì)得E、F兩點(diǎn)到直線BO的距離相等，從而算出點(diǎn)A到直線BO的距離等于C到直線BO的距離的5倍．由此即可算出△OAB與△OBC的面積之比．

解答：解：∵

AB

=

OB

-

OA

，且

AB

=

4OB

+

5OC

，
∴

OB

-

OA

=

4OB

+

5OC

，
整理得

OB

=-

1

3

OA

-

5

3

OC

，即

BO

=

1

3

OA

+

5

3

OC

，
延長(zhǎng)BO到D，使OD=BO，過(guò)D作OC的平行線交OA于E，
作OA的平行線交直線OC于F，則四邊形OEDF為平行四邊形，
可得

OD

=

OE

+

OF

，
∵

OD

=

BO

，∴

OD

=

1

3

OA

+

5

3

OC

，
∵

OE

、

OA

是共線的向量，

OF

、

OC

也是共線的向量，
∴由平面向量基本定理，得

OE

=

1

3

OA

，

OF

=

5

3

OC

，
∴E到直線BO的距離等于A到直線BO的距離的

1

3

，點(diǎn)F到直線BO的距離等于C到直線BO距離的

5

3

，
∵平行四邊形0EDF中，E、F兩點(diǎn)到直線BO的距離相等，
∴點(diǎn)A到直線BO的距離等于C到直線BO的距離的5倍，
∵△OAB與△OBC有公共的邊BO，
∴以BO為底，△OAB與△OBC的高之比等于它們的面積之比，
由此可得：S_△OAB=5S_△OBC，從而△OAB與△OBC的面積之比為5：1．
故答案為：5：1

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC中的點(diǎn)O滿足的向量式，求△OAB與△OBC的面積之比．著重考查了平面向量基本定理、向量的線性運(yùn)算、三角形的面積公式和平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．