Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=

k(x-1)

x

．
（I）當(dāng)k=e時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ） 若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把k=e代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求得函數(shù)的極值；
（Ⅱ）求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)k≤0時(shí)，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合h（1）=0，可知h（x）≥0不恒成立，當(dāng)k＞0時(shí)，由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)h（x）的最小值，由最小值大于等于0求得k的值．

解答：解：（Ⅰ）注意到函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
h（x）=lnx-

k(x-1)

x

(x＞0)，
當(dāng)k=e時(shí)，h′(x)=

1

x

-

e

x2

=

x-e

x2

，
若0＜x＜e，則h′（x）＜0；若x＞e，則h′（x）＞0．
∴h（x）是（0，e）上的減函數(shù)，是（e，+∞）上的增函數(shù)，
故h（x）_min=h（e）=2-e，
故函數(shù)h（x）的減區(qū)間為（0，e），增區(qū)間為（e，+∞），極小值為2-e，無(wú)極大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知h′(x)=

1

x

-

k

x2

=

x-k

x2

，
當(dāng)k≤0時(shí)，h′（x）＞0對(duì)x＞0恒成立，
∴h（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
注意到h（1）=0，∴0＜x＜1時(shí)，h（x）＜0不合題意．
當(dāng)k＞0時(shí)，若0＜x＜k，h′（x）＜0；
若x＞k，h′（x）＞0．
∴h（x）是（0，k）上的減函數(shù)，是（k，+∞）上的增函數(shù)，
故只需h（x）_min=h（k）=lnk-k+1≥0．
令u（x）=lnx-x+1（x＞0），
u′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，u′（x）＞0； 當(dāng)x＞1時(shí)，u′（x）＜0．
∴u（x）是（0，1）上的增函數(shù)，是（1，+∞）上的減函數(shù)．
故u（x）≤u（1）=0當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立．
∴當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，h（x）≥0成立，
即k=1為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和函數(shù)構(gòu)造法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是有一定難度題目．