Question

正數(shù)a、b、c滿(mǎn)足條件：（lgab）•（lgbc）=-1，則

c

a

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先設(shè)x=lg（bc），根據(jù)題意和指數(shù)式與對(duì)數(shù)的互化求出

c

a

，再對(duì)x的范圍分兩類(lèi)利用基本不等式求x+

1

x

，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出

c

a

的取值范圍．

解答：解：設(shè)x=lg（bc），則由題意得，lg（ab）=-

1

x

，
由對(duì)數(shù)的定義得，bc=10^x，ab=10-

1

x

，∴

c

a

=

10x

10- 1 x

=10x+

1

x

，
當(dāng)x＞0時(shí)，由基本不等式得，x+

1

x

≥2，
又因y=10^x在定義域上是增函數(shù)，所以

c

a

=10x+

1

x

≥100，
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x-

1

x

≥2，即x+

1

x

≤-2，同理可求：

c

a

≤

1

100

綜上，所求的取值范圍是 （0，

1

100

]∪[100，+∞）．
故答案為：(0，

1

100

]∪[100，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是指數(shù)式和對(duì)數(shù)互化得應(yīng)用，即用指對(duì)互化的式子將對(duì)數(shù)的真數(shù)用冪的形式表示出來(lái)，利用基本不等式和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出范圍，一定注意基本不等式的條件：“一正二定三相等”．