若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
(1) f(x)=x2-x+1.(2) (-∞,-1).
【解析】
試題分析:(1)由f(0)=1得,c=1. 1分
∴f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,∴∴ 5分
因此,f(x)=x2-x+1.
(2)f(x)>2x+m等價于x2-x+1>2x+m, 6分
即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,
只需使函數(shù)g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可. 8分
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上單調(diào)遞減,
∴g(x)min=g(1)=-m-1, 10分
由-m-1>0得,m<-1.
因此滿足條件的實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1). 12分
考點:本題考查了一元二次函數(shù)及其恒成立問題
點評:對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在實數(shù)集R上恒成立問題可利用判別式直接求解,即:f(x)>0恒成立;f(x)<0恒成立,若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題,還可以利用韋達定理以及根與系數(shù)的分布知識求解
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008年高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)試題 題型:013
若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像的頂點坐標(biāo)為(2,-1),與y軸的交點坐標(biāo)為(0,11),則
A.a=1,b=-4,c=-11
B.a=3,b=12,c=11
C.a=3,b=-6,c=11
D.a=3,b=-12,c=11
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:學(xué)習(xí)周報 數(shù)學(xué) 人教課標(biāo)高一版(A必修1) 2009-2010學(xué)年 第9期 總165期 人教課標(biāo)高一版 題型:013
若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的兩個零點為-2和4,且函數(shù)的最大值為9,則這個二次函數(shù)的解析式是
f(x)=-(x-2)(x-4)
f(x)=-(x+2)(x+4)
f(x)=-(x+2)(x-4)
f(x)=-(x-2)(x+4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇省淮安七校2011-2012學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 題型:022
若二次函數(shù)f(x)=-x2-ax+4在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍為________;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)等于 ( )
A.- B.-
C.c D.
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