Question

已知集合A={x|x²-4ax+2a+6=0，x∈R}，集合B={x|x＜0}，若A∩B≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（法1）：由A∩B≠∅，可得方程x²-4ax+2a+6=0有負根，分類討論，（1）恰有一個負根：（2）恰有2個負根，結合二次方程的性質(zhì)可求
（法2）：由x²-4ax+2a+6=0有負根可得以a=

6+x2

4x-2

（x＜0）有解，構造函數(shù)y=

6+x2

4x-2

（x＜0），令t=4x-2＜-2，換元得y=

t2+4t+100

16t

=

1

16

(t+

100

t

+4)，結合基本不等式可求y的范圍，進而可求a的范圍

解答：解：（法1）：因為A∩B≠∅，所以方程x²-4ax+2a+6=0有負根；…（1分）
設方程的根為x₁，x₂
（1）恰有一個負根：

△=16a2-4(2a+6)＞0 x1x2=2a+6＜0

或

△=16a2-4(2a+16)＞0 x1=0且x2＜0

…（3分）
解得：

a＞ 3 2 或a＜-1 a＜-3

或

a＞ 3 2 或a＜-1 a=-3

…（5分）
即a≤-3…（6分）
（2）恰有2個負根

△≥0 x1x2＞0 x1+x2＜0

…（7分）
解得：

a≥ 3 2 或a≤-1 a＜0 a＞-3

…（8分）
即-3＜a≤-1…（9分）
所以a的取值范圍是{a|a≤-1}…（10分）
（法2）：因為x²-4ax+2a+6=0有負根，所以a=

6+x2

4x-2

（x＜0）有解，
設y=

6+x2

4x-2

（x＜0），
令t=4x-2＜-2，換元得y=

t2+4t+100

16t

=

1

16

(t+

100

t

+4)≤-1
所以a≤-1

點評：本題主要考查了二次方程的根的分布，方程的根與系數(shù)關系的應用，體現(xiàn)了分類討論思想的應用，還要注意基本不等式在求解函數(shù)的值域中的應用．