Question

已知焦點在x軸上，中心在坐標(biāo)原點的橢圓C的離心率為

4

5

，且過點P(

10 2

3

，1)
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）直線l：y=kx+m分別切橢圓C與圓M：x²+y²=15于A、B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)離心率及橢圓過P求出待定系數(shù)，即得橢圓的方程．
（2）用斜截式設(shè)出直線的方程，代入橢圓、圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡|AB|的解析式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓C的離心率為

4

5

，∴

c

a

=

4

5

，c=

4

5

a，
∴b²=a²-c²=

9

25

a²，
∵橢圓過點P(

10 2

3

，1)，∴

200 9

a2

+

1

9 25 a2

=1，解得a²=25，∴b²=9，
故橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

9

=1（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別為直線l與橢圓和圓的切點，
直線AB的方程為y=kx+m代入橢圓方程，消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直線與橢圓相切，故△=（50kmx）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，從而可得：m²=9+25k²，①，x₁=-

25k

m

，②
直線AB的方程為y=kx+m代入圓的方程，消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-15=0，
由于直線與圓相切，得m²=15（1+k²），③，x₂=-

15k

m

，④
由①③得：k²=

3

5

，m²=24，由②④得：x₂-x₁=

10k

m

，（9分）
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）×

100k2

m2

=4
∴|AB|=2，（12分）

點評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．