Question

2．若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[A，B]為y=f（x）的“友情點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)[A，B]與[B，A]可看作同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2，x＜0\\-{x^3}+6{x^2}-9x+a，x≥0\end{array}\right.$恰好有兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)a的值為2．

Answer 1

分析 由對(duì)稱可知f（x）=-2在（0，+∞）上有兩解，分離參數(shù)得a=x³-6x²+9x-2，作出函數(shù)圖象，根據(jù)解的個(gè)數(shù)得出a的范圍．

解答 解：由題意可知-x³+6x²-9x+a=-2在（0，+∞）上有兩解，
即a=x³-6x²+9x-2在（0，+∞）上有兩解，
設(shè)g（x）=x³-6x²+9x-2，則g′（x）=3x²-12x+9，
令g′（x）=0得x=1或x=3．
∴當(dāng)0≤x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜3時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞3時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在[1，3）上單調(diào)遞減，在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值g（1）=2，當(dāng)x=3時(shí)，g（x）取得極小值g（3）=-2．
作出g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵a=x³-6x²+9x-2在（0，+∞）上有兩解，
∴a=2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與極值計(jì)算，根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．