Question

1．對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞1，y＞$\frac{1}{2}$，不等式p≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立，則實(shí)數(shù)p的最大值為8．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式p≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立，轉(zhuǎn)化為求$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$的最小值即可，利用換元法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)a=2y-1，b=x-1，
∵x＞1，y＞$\frac{1}{2}$，
∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=$\frac{1}{2}$（a+1），
則$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$=$\frac{（b+1）^{2}}{a}$+$\frac{（a+1）^{2}}$≥2×$\frac{（a+1）（b+1）}{\sqrt{ab}}$=2×$\frac{ab+（a+b）+1}{\sqrt{ab}}$=2（$\sqrt{ab}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$+$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$）≥2×（2$\sqrt{\sqrt{ab}•\frac{1}{\sqrt{ab}}}$+$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$）=2（2+2）=8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1，即x=2，y=1時(shí)，取等號(hào)．
∴p≤8，
即p的最大值為8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用換元法轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最小值，多次使用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．