分析 根據(jù)不等式p≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立,轉(zhuǎn)化為求$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$的最小值即可,利用換元法,結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.
解答 解:設(shè)a=2y-1,b=x-1,
∵x>1,y>$\frac{1}{2}$,
∴a>0,b>0,且x=b+1,y=$\frac{1}{2}$(a+1),
則$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$=$\frac{(b+1)^{2}}{a}$+$\frac{(a+1)^{2}}$≥2×$\frac{(a+1)(b+1)}{\sqrt{ab}}$=2×$\frac{ab+(a+b)+1}{\sqrt{ab}}$=2($\sqrt{ab}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$+$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$)≥2×(2$\sqrt{\sqrt{ab}•\frac{1}{\sqrt{ab}}}$+$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$)=2(2+2)=8,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1,即x=2,y=1時(shí),取等號(hào).
∴p≤8,
即p的最大值為8,
故答案為:8.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題,利用換元法轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最小值,多次使用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),有一定的難度.
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A. | 41π | B. | $\frac{41π}{2}$ | C. | 48π | D. | 24π |
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