Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x-1|≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過分類討論，去掉絕對(duì)值函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可求得不等式f（x）≥2的解集；
（2）通過分類討論，去掉絕對(duì)值函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在R上先減后增，
得到函數(shù)的最小值為f（1）+|1-1|=f（1）=a-1，而不等式f（x）+|x-1|≥1解集為R即a-1≥1恒成立，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=|x-1|+|x-2|=

-2x+3，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

，
由于f（x）≥2，
則①當(dāng)x＜1時(shí)，-2x+3≥2，∴x≤

1

2

；
②當(dāng)1≤x≤1時(shí)，1≥2，無解；
③當(dāng)x＞2時(shí)，2x-3≥2，∴x≥

5

2

．
綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為：（-∞，

1

2

]∪[

5

2

，+∞）；
（2）令F（x）=f（x）+|x-1|，則F(x)=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

，
所以當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F（1）=a-1，
只需a-1≥1，解得a≥2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法和不等式的恒成立問題，考查學(xué)生的分類討論思想和轉(zhuǎn)化能力．第一問，利用零點(diǎn)分段法進(jìn)行求解；第二問，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最小值證明恒成立問題．