Question

已知函數(shù)f（x）=x3-

3

2

ax2+a，a∈R．
（I）若曲線y=f（x）在點（4，f（4））處切線的斜率為12，求a的值；
（II）若x∈[0，1]，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（3，f（3））處切線的斜率為12，即f'（3）=12，從而可求a的值；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，可得x₁=0，x₂=a，結(jié)合x∈[0，1]，分類討論，即可求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答：解：（I）f（x）的定義域為R                                      …（1分）
∵f（x）=x3-

3

2

ax2+a，∴f′（x）=3x²-3ax…（2分）
又∵曲線y=f（x）在點（3，f（3））處切線的斜率為12，
∴f'（3）=12
∴3×3²-9a=0…（5分）
∴a=3                                                      …（6分）
（II）∵f′（x）=3x²-3ax
由 f′（x）=3x²-3ax=0得x₁=0，x₂=a                    …（7分）
當(dāng)a≤0時，在區(qū)間（0，1）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）有最小值是f（0）=a；   …（9分）
當(dāng)0＜a＜1時，在區(qū)間（0，a）上f（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，0）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=a時，函數(shù)f（x）有最小值是f(a)=-

1

2

a3+a；          …（11分）
當(dāng)a≥1時，在區(qū)間（0，1）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）有最小值是f(1)=1-

a

2

．
綜上可得，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的最小值是f（0）=a；
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的最小值是f(a)=-

1

2

a3+a；
當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）的最小值是f(1)=1-

a

2

．…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵．