Question

已知向量

a

=（-2，sinθ），

b

=（cosθ，1），其中θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）若

a

⊥

b

，求θ的值；
（2）令

c

=

a

-

b

，求|

c

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

，可得（-2，sinθ）•（cosθ，1）=0，化簡可得tanθ=2，進(jìn)而可求θ；
（2）寫出向量

c

的坐標(biāo)，可據(jù)此求模長，由三角函數(shù)的最值可求．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="rfbpxnj" class="MathJye">

a

=（-2，sinθ），

b

=（cosθ，1），

a

⊥

b

，
所以（-2，sinθ）•（cosθ，1）=0．（2分）
即-2cosθ+sinθ=0．
所以tanθ=2．（4分）
又因?yàn)棣取剩?

π

2

，

π

2

），所以θ=arctan2．（6分）
（2）因?yàn)?span id="rdnr5vd" class="MathJye">

c

=

a

-

b

=（-2-cosθ，sinθ-1），
所以|

c

|=

(-2-cosθ)2+(sinθ-1)2

=

6-2sinθ+4cosθ

=

6-2 5 sin(θ-arctan2)

，（8分）
因?yàn)棣取剩?

π

2

，

π

2

），
所以θ-arctan2∈（-

π

2

-arctan2，

π

2

-arctan2）．（10分）
所以當(dāng)θ=-

π

2

+arctan2時(shí)，|

c

|的最大值為

5

+1．（12分）

點(diǎn)評：本題為三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用，把垂直問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，準(zhǔn)確利用模長公式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．