Question

四枚不同的金屬紀(jì)念幣A、B、C、D，投擲時(shí)，A、B兩枚正面向上的概率為分別為，另兩枚C、D正面向上的概率分別為a（0＜a＜1）．這四枚紀(jì)念幣同時(shí)投擲一次，設(shè)ξ表示出現(xiàn)正面向上的枚數(shù)．
（1）若A、B出現(xiàn)一正一反與C、D出現(xiàn)兩正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望（用a表示）；
（3）若有2枚紀(jì)念幣出現(xiàn)正面向上的概率最大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)從M中任取一個(gè)元素是（3，5）的事件為B，則P（B）=，由此能求出從M中任取一個(gè)元素是（3，5）的概率．
（2）設(shè)從M中任取一個(gè)元素，x+y≥10的事件為C，有（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），由此能求出從M中任取一個(gè)元素x+y≥10的概率．
（3）ξ可能取的值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=，P（ξ=6）=，P（ξ=7）=，P（ξ=8）=，P（ξ=9）=，P（ξ=10）=，P（ξ=11）=，P（ξ=12）=，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：解：（1）設(shè)從M中任取一個(gè)元素是（3，5）的事件為B，則P（B）=，
所以從M中任取一個(gè)元素是（3，5）的概率為，
（2）設(shè)從M中任取一個(gè)元素，x+y≥10的事件為C，有
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）
則P（C）=，所以從M中任取一個(gè)元素x+y≥10的概率為．
（3）ξ可能取的值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=，P（ξ=6）=，P（ξ=7）=，
P（ξ=8）=，P（ξ=9）=，P（ξ=10）=，P（ξ=11）=，P（ξ=12）=，
∴ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P

∴Eξ=
=7．
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．注意理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．