Question

設(shè)坐標原點為O，拋物線y²=2x上兩點A、B在該拋物線的準線上的射影分別是A′、B′，已知|AB|=|AA′|+|BB′|，則=________．

Answer 1

分析：設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l．根據(jù)根據(jù)拋物線線的定義，得|AB|=|AA′|+|BB′|=|AF|+|BF|，可得AB是拋物線經(jīng)過焦點F的弦．然后根據(jù)A、F、B三點共線，利用斜率公式列式，化簡整理得到A、B兩點縱坐標之積為-1，橫坐標之積等于，最后利用向量數(shù)量積的坐標公式，可算出的值．
解答：設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l
∵AA′⊥l，點A在拋物線上
∴根據(jù)拋物線線的定義，得|AA′|=|AF|．
同理可得|BB′|=|BF|，
∵|AB|=|AA′|+|BB′|，
∴|AB|=|AF|+|BF|，可得AB是拋物線經(jīng)過焦點F的弦．
因為拋物線方程為y²=2x，所以焦點F坐標為（，0），
設(shè)A（，y₁），B（，y₂），
∵A、F、B三點共線
∴k_AF=k_BF，可得=，
化簡整理得：（y₁y₂+1）（y₁-y₂）=0，
顯然y₁-y₂≠0，所以y₁y₂=-1
∴=+y₁y₂=（y₁y₂）²+y₁y₂=-1=
故答案為：
點評：本題給出拋物線的焦點弦的端點為A、B，求向量、的數(shù)量積，著重考查了拋物線的幾何性質(zhì)、直線斜率的公式等知識點，屬于中檔題．