Question

設函數(shù)的定義域為（0，）.
(Ⅰ)求函數(shù)在上的最小值；
(Ⅱ)設函數(shù)，如果，且，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：(Ⅰ) 利用導數(shù)分析單調(diào)性，進而求最值；(Ⅱ)分類討論函數(shù)的單調(diào)性
試題解析：(Ⅰ)，則時，；時，。
所以，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+）上是增函數(shù).  2分
當時，函數(shù)在[m，m+1]上是增函數(shù),
此時；
當時，函數(shù)在[m， 1]上是減函數(shù),在[1，m+1]上是增函數(shù)，
此時；                                6分
(Ⅱ)證明：考察函數(shù)， 
所以g(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù).（結(jié)論1）
考察函數(shù)F(x)=g(x)-g(2-x)，即
于是
當x>1時，2x-2>0,從而(x)>0,
從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。                                          
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （結(jié)論2）  10分
若，由結(jié)論1及，得，與矛盾；
若，由結(jié)論1及，得，與矛盾；  12分
若不妨設
由結(jié)論2可知，g()>g(2-)，所以>g(2-)。
因為，所以，又由結(jié)論1可知函數(shù)g(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，
所以>,即>2.                 15分