已知F1，F(xiàn)2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P為雙曲線與圓x2+y2=a2+b2的一個(gè)交點(diǎn)，且滿足|PF1|=2|PF2|，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=±x，F(xiàn)2到漸近線的距離是
2
，過F2的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓與y軸相切，求線段AB的長．
（Ⅰ）由題設(shè)得：
|PF1|=2|PF2|
|PF1|-|PF2|=2a
，得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
因?yàn)辄c(diǎn)P為雙曲線與圓x2+y2=a2+b2=c2的一個(gè)交點(diǎn)，∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，則16a2+4a2=4c2，即5a2=c2，故離心率e=
c
a
=
5
；
（Ⅱ）∵雙曲線的漸近線方程為y=±x，F(xiàn)2到漸近線的距離是
2
，
∴
c
2
=
2
，所以c=2，又
b
a
=1，a2+b2=c2，得a=b=
2
，
所以雙曲線方程為x2-y2=2，F(xiàn)2（2，0），e=
2
．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由雙曲線的焦半徑公式得：|AF2|=ex1-a=
2
x1-
2
，
|BF2|=ex2-a=
2
x2-
2
，
∵以AB為直徑的圓與y軸相切，∴
x1+x2
2
=
1
2
|AB|=
1
2
(|AF2|+|BF2|)．
∴x1+x2=
2
(x1+x2)-2
2
，則x1+x2=
2
2
2
-1
=4+2
2
，
所以|AB|=x1+x2=4+2
2
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P(1，
2
)，其離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l：y=
2
x+m交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△PAB的面積為
2
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
3
，過點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數(shù)，當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時(shí)，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k2+1，試問：實(shí)數(shù)λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時(shí)，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時(shí)的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)A（1，1）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求過A（1，1）與橢圓相切的直線方程；
（III）設(shè)點(diǎn)C、D是橢圓上兩點(diǎn)，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C過點(diǎn)P（1，
3
2
），兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，且橢圓Γ的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得OA⊥OB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

直線L：
x
4
+
y
3
=1與橢圓E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B兩點(diǎn)，該橢圓上存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積等于3，則這樣的點(diǎn)P共有（　�。�
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

直線y=x+m與曲線y=
1-2x2
有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，以
3
2
為離心率的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A和B，點(diǎn)P是橢圓位于x軸上方的一點(diǎn)，且△PAB的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是橢圓位于x軸下方的一點(diǎn)，直線AP、BQ的斜率分別為k1，k2，若k1=7k2，設(shè)△BPQ與△APQ的面積分別為S1，S2，求S1-S2的最大值．

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同步練習(xí)冊答案