Question

已知拋物線(xiàn)y²=4x，過(guò)焦點(diǎn)的弦AB被焦點(diǎn)分成長(zhǎng)為m，n的兩段，求證：m+n=mn．

Answer 1

證明：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)x=-1，
設(shè)y=k（x-1），把它代入y²=4x得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=1
由拋物線(xiàn)定義可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴m+n=（x₁+1）+（x₂+1）=（x₁+x₂）+2，mn=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=（x₁+x₂）+2
∴m+n=mn
分析：求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)x=-1，再設(shè)y=k（x-1）代入y²=4x得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由拋物線(xiàn)定義可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組．