Question

7．已知圓C過點p（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（1）求圓C的方程．
（2）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，求證：直線OP與直線AB平行．

Answer 1

分析 （1）由已知中圓C過點P（1，1），且圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱，我們可以求出圓C的方程，然后判斷圓心距CM與兩圓半徑和與差的關系，即可得到答案；
（2）由已知中直線PA和直線PB與x軸分別交于點G、H，且∠PGH=∠PHG，可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，設PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），求出A，B坐標后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB斜率是否相等，即可得到答案．

解答 解：（1）由題意可得點C和點M（-2，-2）關于直線x+y+2=0對稱，
且圓C和圓M的半徑相等，都等于r．
設C（m，n），由$\frac{m+2}{n+2}$•（-1）=-1，
且 $\frac{m-2}{2}$+$\frac{n-2}{2}$+2=0，
求得 $\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=0}\end{array}\right.$，
故原C的方程為x²+y²=r²．
再把點P（1，1）代入圓C的方程，求得r=$\sqrt{2}$，
故圓的方程為 x²+y²=2．
（2）證明：過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，
且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，
則得直線OP和AB平行，
理由如下：由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，
故可設PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1）．
由 $\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，
因為P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得x_A=$\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$．
同理，所以x_B=$\frac{{k}^{2}+2k-1}{1+{k}^{2}}$．
由于AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{B}-1）-k（{x}_{A}-1）}{{x}_{B}-{x}_{A}}$
=$\frac{2k-k（{x}_{A}+{x}_{B}）}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=1=k_OP （OP的斜率），
所以，直線AB和OP一定平行．

點評 本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，關于直線對稱的圓的方程，其中根據已知條件求出圓C的方程是解答本題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．