Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E是BC中點(diǎn)．
（I）求證：A₁B∥平面AEC₁；
（II）若棱AA₁上存在一點(diǎn)M，滿足B₁M⊥C₁E，求AM的長；
（Ⅲ）求平面AEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接EO，
因?yàn)锳CC₁A₁為正方形，所以O(shè)為A₁C中點(diǎn)，
又E為CB中點(diǎn)，所以EO為△A₁BC的中位線，
所以EO∥A₁B，
又∵EO?平面AEC₁，A₁B?平面AEC₁，
所以A₁B∥平面AEC₁．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系
所以A（0，0，0），A₁（0，0，2），B（2，0，0），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），E（1，1，0），
設(shè)M（0，0，m），0≤m≤2，所以，=（1，-1，-2），
因?yàn)锽₁M⊥C₁E，所以，解得m=1，所以AM=1．
（Ⅲ）解：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/220.png' />=（1，1，0），=（0，2，2），
設(shè)平面AEC₁的法向量為=（x，y，z），
則有，得，
令y=-1，則x=1，z=1，所以取=（1，-1，1），
因?yàn)锳C⊥平面ABB₁A₁，取平面ABB₁A₁的法向量為=（0，2，0），
所以cos＜＞==-，
平面AEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值為．
分析：（1）連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接EO，由ACC₁A₁為正方形，知O為A₁C中點(diǎn)，由E為CB中點(diǎn)，知EO∥A₁B，由此能夠證明A₁B∥平面AEC₁．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能得到棱AA₁上存在一點(diǎn)M，滿足B₁M⊥C₁E，并能求出AM的長
（Ⅲ）由=（1，1，0），=（0，2，2），求出平面AEC₁的法向量為=（1，-1，1），利用向量法能求出平面AEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的點(diǎn)的判斷，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．