Question

20．已知點P（x₀，y₀）（x₀≠0）是拋物線x²=2y上的一動點，F(xiàn)為焦點，點M的坐標為（0，1）．
（Ⅰ）求證：以MP為直徑的圓截直線$y=\frac{1}{2}$所得的弦長為定值；
（Ⅱ）過點P作x軸的垂線交x軸于點A，過點P作該拋物線的切線l交x軸于點B．問：直線PB是否為∠APF的平分線？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓的圓心與半徑，利用圓的圓心與半徑，半弦長滿足勾股定理，列出方程即可求證：以MP為直徑的圓截直線$y=\frac{1}{2}$所得的弦長為定值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到切線方程，求出B的坐標，求出點B到直線PA的距離為${d_1}=\frac{{|{x_0}|}}{2}$，求直線PF的方程，點B到直線PF的距離為${d_2}=\frac{{|{（{x_0^2-1}）\frac{x_0}{2}+{x_0}}|}}{{\sqrt{{{（{x_0^2-1}）}^2}+{{（{2{x_0}}）}^2}}}}=\frac{{|{x_0}|}}{2}$，推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）以MP為直徑的圓的圓心為$（{\frac{x_0}{2}，\frac{1}{2}{y_0}+\frac{1}{2}}）$，
$|{MP}|=\sqrt{x_0^2+{{（{{y_0}-1}）}^2}}=\sqrt{2{y_0}+{{（{{y_0}-1}）}^2}}=\sqrt{y_0^2+1}$，----------（5分）
所以圓的半徑$r=\frac{1}{2}\sqrt{y_0^2+1}$，
圓心到直線$y=\frac{1}{2}$的距離$d=|{\frac{1}{2}{y_0}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}|=|{\frac{1}{2}{y_0}}|$；
故截得的弦長$l=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{\frac{1}{4}y_0^2+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}y_0^2}=1$----------（10分）
（Ⅱ）因為$y=\frac{x^2}{2}，y'=x，{k_l}={y^'}{|_{x={x_0}}}={x_0}$，
所以切線l的方程為$y-\frac{x_0^2}{2}={x_0}（x-{x_0}）$，即$y={x_0}x-\frac{x_0^2}{2}$
令y=0，得$x=\frac{x_0}{2}$，所以點B的坐標為  $B（\frac{x_0}{2}，0）$----------（12分）
點B到直線PA的距離為${d_1}=\frac{{|{x_0}|}}{2}$，
下面求直線PF的方程．
因為$F（0，\frac{1}{2}）$，所以直線PF的方程為$y-\frac{1}{2}=\frac{{\frac{x_0^2}{2}-\frac{1}{2}}}{x_0}（x-0）$，
整理得$（{x_0^2-1}）x-2{x_0}y+{x_0}=0$
所以點B到直線PF的距離為${d_2}=\frac{{|{（{x_0^2-1}）\frac{x_0}{2}+{x_0}}|}}{{\sqrt{{{（{x_0^2-1}）}^2}+{{（{2{x_0}}）}^2}}}}=\frac{{|{x_0}|}}{2}$，
所以d₁=d₂
所以直線PB是∠APF的平分線----------（15分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應用，函數(shù)的導數(shù)以及切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．