Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a，b為實常數(shù)）．
（Ⅰ）若a=

1

3

，b=2，求函數(shù)f（x）圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當b=0時，設g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值H（a）．

Answer 1

分析：（I）先確定函數(shù)的表達式，然后求導數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由直線的方程求出切線方程即可；
（II）研究g（x）=|x³-3ax|（x∈[-1，1]）是偶函數(shù)，所以只要求出g（x）=|x³-3ax|（x∈[0，1]）的最大值問題即可，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值．

解答：解：（Ⅰ）當a=

1

3

，b=2時，f（x）=x³-x+2，∴f（1）=2，f′（x）=3x²-1．
∴曲線y=f（x）在點（1，2）處切線斜率為f′（1）=2，（2分）
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x．（3分）
（Ⅱ）顯然g（x）=|x³-3ax|（x∈[-1，1]）是偶函數(shù)，
所以只要求出g（x）=|x³-3ax|（x∈[0，1]）的最大值即可．又f'（x）=3（x²-a），
①a＜0時，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，∴f（x）≥f（0）=0．
∴f（x）=g（x），∴H（a）=f（1）=1-3a．（5分）
②a＞0時，則在[0，1]上f′(x)=3(x+

a

)(x-

a

)．
（i）

a

≥1即a≥1時，則在[0，1]上f（x）為減函數(shù)，
∴f（x）≤f（0）=0，∴g（x）=-f（x），
∴H（a）=-f（1）=3a-1．（7分）
（ii）0＜a＜1時，則在[0，1]上f′(x)=3(x+

a

)(x-

a

)．

則可以畫出g（x）的草圖如下，并且由圖可知：

當

a

＜1≤2

a

即

1

4

≤a＜1時，g（x）的最大值H(a)=-f(

a

)=2a

a

當1＞2

a

即0＜a＜

1

4

時，g（x）的最大值H（a）=f（1）=1-3a
綜上所述：H(a)=

1-3a(a＜ 1 4 ) 2a a ( 1 4 ≤a＜1) 3a-1(a≥1)

．（12分）．

點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．