Question

13．已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-x．（x∈R）
（1）用單調(diào)函數(shù)定義證明f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增；
（2）記f（x）在閉區(qū)間[t，t+1]上的最小值為g（t），求g（t）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)0＜x₁＜x₂，代入f（x₁）-f（x₂）化簡判斷符號(hào)，利用單調(diào)性的定義證明；
（2）設(shè)m=2^x，則y=m+$\frac{1}{m}$（2^t≤m≤2^t+1），分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求g（t）的表達(dá)式．

解答 解：（1）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-${2}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）（1-{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}）}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)． 
（2）設(shè)m=2^x，則y=m+$\frac{1}{m}$（2^t≤m≤2^t+1），
t＜-1，函數(shù)在[2^t，2^t+1]上單調(diào)遞減，g（t）=2^t+1+$\frac{1}{{2}^{t+1}}$，
-1≤t≤0，g（t）=2，
t＞0，函數(shù)在[2^t，2^t+1]上單調(diào)遞增，g（t）=2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{t+1}+\frac{1}{{2}^{t+1}}，t＜-1}\\{2，-1≤t≤0}\\{{2}^{t}+\frac{1}{{2}^{t}}，t＞0}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的證明與應(yīng)用，其中熟練掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．