Question

在幾何體ABCDE中，AB=AD=BC=CD=2，AB丄AD，且AE丄平面ABD，平面BD丄平面ABD
（I）當(dāng)AB∥平面CDE時(shí)，求AE的長；
（II）當(dāng)AE=2+時(shí)，求二面角A-EC-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)AE=a，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），取BD中點(diǎn)T，連CT，AT，求出平面CDE的一個(gè)法向量為，根據(jù)AB∥平面CDE可得=0，由此可求出a值，即AE長；
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化為求兩平面法向量的夾角，由（Ⅰ）易知平面CDE的一個(gè)法向量，可證平面AEC的一個(gè)法向量為=（-2，2，0），利用向量夾角公式即可求得，注意二面角與向量夾角的關(guān)系；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)AE=a，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），
取BD中點(diǎn)T，連CT，AT，則CT⊥BD，
又平面CBD⊥平面ABD，
∴CT⊥平面ABD，∴CT∥AE，
∵CD=BC=2，BD=2，
∴CD⊥CB，∴CT=，
∴C（1，1，），
=（2，0，0），=（0，-2，a），=（1，-1，），
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為=（x，y，z），
則有，則-2y+az=0，x-y+z=0，
取z=2，則y=a，x=a-2，所以=（a-2，a，2），
∵AB∥平面CDE，
∴=0，∴a-2=0，
所以a=2；
（Ⅱ）∵a=2+，
∴由上述（Ⅰ）易知平面CDE的一個(gè)法向量，
BD⊥AT，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
則平面AEC的一個(gè)法向量為=（-2，2，0），
故cos＜，＞=，所以θ=，
故二面角A-EC-D的大小為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量求二面角、判定線面平行，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，考查學(xué)生推理論證能力，屬中檔題．