Question

已知函數(shù)．
（1）求證：f（x）+f（2a-x）+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）當f（x）的定義域為時，求證：f（x）的值域為[-3，-2]．

Answer 1

證明：（1）∵f（x）==-1，
∴f（2a-x）=-1=--1，
∴f（x）+f（2a-x）+2=+（-）-2+2=0，與x取值無關．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）∵f（x）的定義域為，
∴-1-a≤-x≤-a-，-1≤a-x≤-，-2≤≤-1，
又f（x）=-1，
∴-3≤-1≤-2，即f（x）的值域為[-3，-2]．
分析：（1）由于f（x）=-1，于是可得f（x）+f（2a-x）+2=0，與x取值無關得證；
（2）由定義域為[a+12，a+1]，得，再由f（x）=-1即可求解．
點評：本題考查函數(shù)的值域，關鍵在于對f（x）的化簡（化為f（x）=-1），難點在于由x的范圍到-x的范圍，再到a-x的范圍，最后到的范圍的探討，屬于難題．