Question

AB是⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，AB=2，AC=1，P為⊙O所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥⊙O，PB與平面所成角為45°
（1）證明：BC⊥平面PAC；
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由線面垂直得PA⊥BC，由直徑性質(zhì)得BC⊥AC，由此能證明BC⊥平面PAC．
（2）過點(diǎn)A作AD⊥PC，于點(diǎn)D，由線面垂直得BC⊥AD，從而得到AD⊥平面PBC，所以AD即為點(diǎn)A到平面PBC的距離，由此能求出點(diǎn)A到平面PBC的距離．

解答： （1）證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB是圓O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，∴BC⊥AC，
又∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
（2）解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥PC，于點(diǎn)D，
∵BC⊥平面PAC，AD?平面PAC，
∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC，
∴AD即為點(diǎn)A到平面PBC的距離，
依題意知∠PBA是PB與平面ABC所成的角，∴∠PBA=45°，
∴PA=AB=2，AC=1，解得PC=

5

，
∵AD•PC=PA•AC，
∴AD=

2×1

5

=

2 5

5

，
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為

2 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．