Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是an=

2

sin(

nπ

2

+

π

4

)．設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，則S₁₂₌

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出三角函數(shù)對(duì)應(yīng)的周期，從而得到數(shù)列是周期數(shù)列，然后利用數(shù)列的周期性進(jìn)行求和即可．

解答：解：∵an=

2

sin(

nπ

2

+

π

4

)．
∴對(duì)應(yīng)的數(shù)列的周期T=

2π

π 2

=4，即數(shù)列{a_n}是周期為4的周期數(shù)列，
∴S₁₂=3S₄，
∵an=

2

sin(

nπ

2

+

π

4

)，
∴a1=

2

sin?(

π

2

+

π

4

)=

2

cos?

π

4

，a2=

2

sin?(π+

π

4

)=-

2

sin?

π

4

，a3=

2

sin?(

3π

2

+

π

4

)=-

2

cos?

π

4

，a4=

2

sin?(2π+

π

4

)=

2

sin?

π

4

，
∴S₄=0，
即S₁₂=3S₄=0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列和的計(jì)算，利用數(shù)列的周期性是解決本題的關(guān)鍵．