Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA=BC=2，且

BA

•

BC

=0，異面直線A₁B與AC成60°角，點G，E分別是棱AC，BB₁的中點，點F是棱B₁C₁上的動點．
（1）證明：A₁E⊥GF；
（2）求二面角B₁-A₁C-C₁的大�。�
（3）求點E到面AB₁C的距離．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，設(shè)出棱錐的高，根據(jù)異面直線A₁B與AC成60°的角，寫出兩條異面直線的夾角，求出高，再利用向量的數(shù)量積求出異面直線所成的角為90°，
進(jìn)而證明線線垂直．
（2）根據(jù)建立的坐標(biāo)系，看出平面的一個法向量，設(shè)出另一個平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0，求出一個法向量，再根據(jù)兩個向量的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角的余弦值求出答案即可．
（3）先求出平面的法向量，再求出平面的任意一個斜線所在的向量在法向量上的射影即可．

解答：解：（1）證明：以B為原點，BA，BC，BB₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱柱的高為h，
則A（2，0，0），C（0，2，0），G（1，1，0），A₁（2，0，h）

所以

BA1

=(2，0，h)，

CA

=(2，-2，0)，
所以cos＜

BA1

，

CA

＞=

4

2 2 • 4+h2

=

1

2

，
解得h=2，
所以E（0，0，1），A₁（2，0，2），
所以

A1E

=(-2，0，-1)．
因為F是B₁C₁上的動點，設(shè)F（0，y，2），
所以

GF

=(-1，y-1，2)，
所以

A1E

•

GF

=0，
所以A₁E⊥GF．
（2）因為平面A₁CC₁的一個法向量是

BG

=(1，1，0)．
設(shè)平面A₁B₁C的一個法向量

n

=(x，y，z)，
因為

A1C

=(-2，2，-2)，

A1B1

=(-2，0，0)，
所以

n • A1C =0 n • A1B1 =0

，可解得一個法向量為

n

=(0，1，1)，
所以cos＜

n

，

BG

＞=

1

2

，
所求角為60°．
（3）易求得面AB₁C的法向量

n

=(1，1，1)，
又因為

EA

=(2，0，-1)，
所以E到面AB₁C的距離為d=

| n • EA |

| n |

=

3

3

．

點評：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問題，本題解題的關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，把邏輯性很強(qiáng)的理論推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運算，降低了題目的難度．