給定橢圓： ，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直，并說明理由．

(Ⅰ)，；(Ⅱ)垂直.

解析試題分析：(Ⅰ)利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，利用短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為，求出，解出，，寫出橢圓方程，通過得到的，求出準(zhǔn)圓的半徑，直接寫出準(zhǔn)圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時(shí)，②當(dāng)的斜率都存在時(shí).
試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，
所以橢圓方程為.                  2分
易知準(zhǔn)圓半徑為，
則準(zhǔn)圓方程為.                     4分
(Ⅱ)①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時(shí)，
不妨設(shè)的斜率不存在，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fa/b/1e6ww3.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為，
當(dāng)的方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，，
此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是或，
即為或，顯然直線垂直；           6分
同理可證直線的方程為時(shí)，直線也垂直．      7分
②當(dāng)的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中.
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，
由消去，得.
由化簡(jiǎn)整理得，.  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c0/a/rml7d.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以有.                10分
設(shè)直線的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/24/c/1rtsv2.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以滿足方程，
所以，即垂直．                  12分
綜合①②知，垂直．                       13分
考點(diǎn)：1.橢圓方程；2.分類討論思想解題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
（Ⅰ）若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證為鈍角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的周長(zhǎng)為。
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線與圓相切.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．
分別過，的兩條弦，相交于點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在直線l:x+y-3=0上存在點(diǎn)P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線（其中為整數(shù)）.
（1）試求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為離心率為直線與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為
（I）求；
（II）設(shè)過的直線l與C的左、右兩支分別相交有A、B兩點(diǎn)，且證明：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，
以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.
⑴ 求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
⑵ 當(dāng)時(shí)，曲線和相交于、兩點(diǎn)，求以線段為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案