Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足：S_n＝a_n＋n－3.

(1)求證：數(shù)列{a_n－1}是等比數(shù)列．

(2)令c_n＝log₃(a₁－1)＋log₃(a₂－1)＋…＋log₃(a_n－1)，對任意n∈N^*，是否存在正整數(shù)m，使＋＋…＋≥都成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解　(1)證明：當(dāng)n＝1時，S₁＝a₁＝a₁－2，解得a₁＝4.

當(dāng)n≥2時，由S_n＝a_n＋n－3得S_n－1＝a_n－1＋n－4，

兩式相減，得S_n－S_n－1＝a_n－a_n－1＋1，

即a_n＝3a_n－1－2，則a_n－1＝3(a_n－1－1)，

故數(shù)列{a_n－1}是以a₁－1＝3為首項，3為公比的等比數(shù)列．

(2)由(1)知a_n－1＝3ⁿ，

c_n＝log₃(a₁－1)＋log₃(a₂－1)＋…＋log₃(a_n－1)＝1＋2＋…＋n＝，所以＝

則＋＋…＋

由＋＋…＋≥對任意n∈N^*都成立，得對任意n∈N^*都成立，又m∈N^*，所以m的值為1,2,3.